טור הערב של מל: סכויי נצחון ע"פ סטטיסטיקה בלבד

 

אתר 538 הוא אתר המחשב כל יום ע"פ נתוני סטטיסטיקה בלבד (ז"א מספרים) את סכויי כל קבוצה לנצח ביום משחקה, כיצד היא תסיים את העונה (כמובן שזה משתנה כל יום), וסכוייה לנצח את האליפות. הנוסחאות לפיהן מתבססים הסיכויים לוקחות בחשבון משחקים 'ראדש-בראש', בית או חוץ, כיצד כל קבוצה עשתה נגד קבוצה אחרת וכו'.

פעם בשבוע או עשרה ימים אכניס את הסטטיסטיקה של עשרת הקבוצות הראשונות. את סכויי משחקי היום אוסיף יומית (אני מקווה!) בסוף הפריוויו של הכותב, כשאתעורר בבוקר, בערך ב-5 אחה"צ שלכם.

סכויי היום:

*ניו יורק מנצחת את ניו אורלינס (64%)

*מינסוטה מנצחת את דאלאס (71%)

*שיקגו מנצחת את אוקלהומה סיטי  (56%)

סיום העונה:

קבוצה (רקורד העונה) / סכוי לסיים ראשונה  / סכוי לקחת אליפות  

1.ווריורס (15-67)./ 64%  / 42%  (64% לסיים את הליגה ראשונה/ 42% סכוי לקחת אליפות)

2. ספארס (18-64) / 28% / 18%

3. רוקטס (21-61) / 8% / 9%

4. קאבס (24-58)  / 65% / %10

5. רפטורס (27-55) /25 / 7

6. סלטיקס (31-51) / 8 / 3

7. ג'אז (32-50) / 1 / 2

8. קליפרס (32-50) / 1 / 1

9. גריזליז (35-47) / 1 / 1

10. ת'אנדר (36-46) / קטן מ-1% / קטן מ-1%

 

 

מנחם לס

הזקו והוותיק מכולם בצוות. מנסה לכתוב יומית - כל זמן שאוכל!

לפוסט הזה יש 63 תגובות

    1. וברצינות – אני לא מאמין בסטטיסטיקה ככלי לחיזוי העתיד. ראינו בשנים האחרונות את כל הסוקרים והחוקרים טועים פעם אחר פעם (ברקזיט, טראמפ, גמרי ה-NBA וה-MLB האחרונים).

      גרשון רוקח כתב על זה מאמר טוב לפני כמה חודשים. במיוחד שעכשיו לתת סיכוי לאליפות זה ממש מוקדם מדי, אפילו עם מודל שמריץ 5000 עונות אפשריות מהרגע הזה עד סוף העונה.

      1. הבחירות של טראמפ קלינטון גמרו את המוניטין של נייט סילבר סופית.מגורו הוא הפך לבדיחה.גם אני שמתי לב לבולשיט שלו במהלך הפלייאוף בבייסבול כי הייתי נכנס לשם בתקופת הבחירות

        1. גם לא מחסידי סקרים וסטטיסטיקות, אגב בחירות לא צריך ללכת רחוק מספיק לראות מה הראו הסקרים במדינתנו הקטנה ערב הבחירות ומה הם היו שווים יום למחרת… קלינטון היא המפסידה שניצחה מבחינת כמות קולות בפער הכי גדול אי פעם בארה"ב נדמה לי בסיום הספירה ההפרש היה מעל 2 מיליון קולות לטובתה, כנראה שעל זה נכתב שצריך לדעת לא רק מתי לנצח אלא גם איפה.

          1. אני מסכים, אבל עדיין, הם הימרו על ניצחון מוחץ שלה באלקטורים (מה שבדקתי יותר מהאחוזים).

            בכללי, שיטת הבחירות בארה"ב מוזרה – ראיתי איפשהו שאפשר לזכות בנשיאות רק עם 23% מהקולות. כשרק שני אנשים עם סיכוי ריאלי לנצח, זה מאוד מוזר.

  1. תודה מנחם. ברור שזה בולשיט. (כי לרוקטס יש יותר סיכוי לקחת אליפות מלקאבס?). מעניין אותי אבל על פי מה המודל עובד.
    יש מישהו שמכיר את הבסיס עליו הוא בנוי? מעניין אם זה ה-projection שנייט דאנקן כל הזמן משתמש בו (ואני לא מבין למה) בפודקאסט שלו

    1. כעיקרון המודל שלהם מבוסס ELO. שזה למי שלא מכיר שיטה שנוצרה לדירוג שחקני שח לפי התוצאות של המפגשים ביניהם. זאת אומרת שזה מבוסס בעיקר על תוצאות המשחקים וההפרש שלהם. כשיש חשיבות לחוזק היריב ונכנסים גם גורמים כמו בית/חוץ או זמן מנוחה בין משחקים שידוע שיש להם השפעה משמעותית מבחינה סטטיסטית.
      אחרי כל מפגש החוזק של כל קבוצה מתעדכן כשזה למעשה משחק סכום אפס (מה שקבוצה אחת מרוויחה השנייה מפסידה). לתוך זה הם הכניסו השנה גם התחשבות בחוזק השחקנים בסגל.
      ההבדל ב-ELO של שתי קבוצות קובע את הסיכוי של כך אחת לנצח במפגש נתון ביניהם. מה שהם עושים זה להריץ 50000 סימולציות של עונה שלמה מהנקודה הנתונה (עפ"י כל המפגשים). האחוזים המוצגים הם בסך הכל הביטוי לתוצאות של הסימולציות הנ"ל.

      1. תודה עידו על התשובה המפורטת.
        האמת שזה מה שחשבתי שזה מודל המבוסס על סימולציות.
        מעניין האם הסטטיסטיקאים מעדיפים מודלים כאלו או מודלים יותר קונסרבטיבים בתור 'מדד עוצמה'.

        1. זה מבוסס סימולציה רק בגלל שהתחזית שהמודל נותן היא רק למפגש יחיד בין קבוצה A לקבוצה B. מה הכוונה במודלים קונסרבטיבים?

          1. הכוונה לכל המטריצות המתקדמות שמשקללות את הנתונים הסטטיסטיים של קבוצה מבלי הרצת סימולציה של קבוצה אחת נגד השנייה. לי לפחות נראה שהן נותנות יותר כוח לדירוג עוצמה נוכחי. לעומת חיזוי עתידי שזה מה שמנסה לעשות המודל עם הסימולציות.

          2. סליחה, אני באמת לא מבין.
            ELO הוא לחלוטין מדד עוצמה. זה בערך הדבר היחיד שהא מודד.
            לא כל כך ברור לי למה אתה קורא מטריצות מתקדמות שמשקללות נתונים סטטיסטיים. ונותנות מה?

          3. אני ממש לא סטטיסטיקאי וגם קורסי הסטטיסטיקה המעטים שלקחתי לא הגיעו מעולם לרמות כאלו אז תסלח לי אם אני מדבר שטויות. אבל הכוונה שלי למודלים לינאריים יותר. כאלו שלוקחים נתונים סטטיסטים שונים (סתם לדוגמא נתוני שחקנים, net rating וכו') ואוספים את המידע בצורה קומולטיבית. למודלים כאלו יש את נתוני הקבוצה נכון לעכשיו, מבלי להתייחס לסיכוי שלה אל מול קבוצה x או Y.
            בצורה ממש שטחית, מודל כזה יכול לתת איזשהו מספר אבסולוטי לכל קבוצה (על פי רמת מדרג שנבחרה מראש) ובכך לתת להם דירוג.
            במודל כמו שמתואר כאן, ההתייחסות היא לא לעוצמה של כל קבוצה בפני עצמה אלא לסיכוי שלה בהתמודדות עתידית מול קבוצות אחרות.
            או שממש לא הבנתי את כוונת המודל?

          4. אני מניח שאתה מתכוון למשהו כמו PER שעושה איזה קווץ' למספר רב של פרמטרים כדי לייצר מספר אחד בסוף. אז אני לא מכיר מדד קבוצתי כזה או לפחות לא אחד שעושה את זה טוב.
            עכשיו ה-ELO הוא לגמרי דירוג עוצמה. אם הבן של היה כאן הוא כבר היה מסביר את זה יותר טוב ממני כי זו שיטה שמגיע מדירוג עוצמה של שחמטאים. בגדול נקודת ההתחלה היא ממוצעת שב-ELO אומרת 1500. מכאן כל מפגש מעלה או מוריד את הדירוג בהתאם לתוצאה. הפסד מוריד וניצחון מעלה. בכמה עולים או יורדים זה תלוי ביריבה ובהפרש.
            עכשיו הסיכוי לניצחון במפגש בין שתי קבוצות A ו-B תלוי בעיקר ב-ELO של שתיהן. או יותר נכון בהפרש ביניהן (הנוסחה היא די פשוטה למעשה) כשמכניסים פנימה גם עניינים כמו משחק בית חוץ או בק-טו-בק. בוא ניקח את אחד ממשחקי הערב כדוגמא.
            העוצמה של הבולס כרגע במדד היא 1501 זו של הת'אנדר -1564. ההפרש D=-63. עקרונית אם היינו מתעלמים מפרמטרים אחרים אז הת'אנדר היו פייבוריטים אבל עכשיו נכניס משחק בית שנותן לבולס 92 נקודות והעובדה שOKC טסו מדנבר מורידה להם 12 נקודות ונקבל D=41. הסיכוי של הבולס לנצח לפי הנוסחא הוא:
            P=1/(10^-D/400+1)=56%
            כלומר העוצמה של הקבוצה קובעת את הסיכוי שלה לנצח במפגש הבא. בהתאם לתוצאת המפגש תתעדכן גם העוצמה שלה (זה קצת יותר מסובך אבל לא בהרבה).
            בקיצור זה לא מדד מוצלח ביותר לחיזוי (גם על פי יוצריו) אבל הוא לחלוטין דירוג של עוצמה ומתעלם מכל מה שמסביב.

          5. ELO לא מכוון לתת סיכויי זכיה באליפות עולם בשחמט, בשחמט יש עוד תחרויות עם רמת חשיבות שכמעט משתווה לזכייה באליפות העולם, וזאת בניגוד ל NBA שם האליפות היא הדבר היחיד שחשוב ברמת הקבוצות.
            ה ELO בא לתת מענה יותר הולם יותר לתחרויות בהם כולם משחקים נגד כולם בשיטת ליגה (בית – חוץ, שחור לבן) ועושה עבודה מגושמת בשחמט, לא פחות מאשר באן בי איי ברמת המאץ' אפים הישירים : לדוגמא – קריאקין מדורג מספר 9 בגמר אליפות העולם (מתי ראיתם מדורגת 8 – כי אין 9 בפלייאוף.. מגיעה לגמר האן בי איי ?) שלא לדבר על הדו קרב בין אנאנד – גלפנד. אנאנד היה מדורג כמדומני מחוץ לחמישיה, וגלפנד בסביבות ה 20 בעולם.
            מדד ELO גם לא לוקח בחשבון פוליטיקה פנימית, והפעם אני לא בהכרח מתכוון לסילבר, נייקי ועתיד הקזינוס של גילברט (אבל גם..) אלא פוליטיקה בשחמט, למשל הסכסוך או המחלוקת שהיה לקרלסן עם האיגוד העולמי, מה שמנע מהמדורג מספר 1 להתחרות, או הפיצול של קספרוב שהוביל ל 2 אליפויות עולם בשחמט.

            בשחמט לפחות, יש הבדל בין שחקניי טורנירים ל התמודדות ישירה (מאץ' אפ) גלפנד למשל מוגדר שחקן מאץ' אפ טוב בגלל ההכנה הביתית המדוקדקת, קל הרבה יותר לשחקן בגילו וגם לסגנון משחקו הפחות אינטואטיבי להתכונן לשחקן 1, מאשר להסתגל לכמות הסגנונות הרבים שקיימים בקבוצת העילית +ELO 2700.

            לכן כשמדברים על "עוצמה מבחינתי" מדובר על 2 סוגי "עוצמות" :
            טורניר
            מאצ'אפ

            בדומה לליגה ופלייאוף בכדורסל. ואם כבר מדברים על זה אם בNBA האליפות היתה מוכרעת בשיטת ליגה, הסיכויים של גולדן היו עוד הרבה יותר גבוהים.. (למרות שמן הסתם קבוצות היו פועלות אחרת לגמרי ממה שהן פועלות היום.)

          6. אין ספק שזה מדד עוצמה שנועד לחזות מה הסבירות לניצחון במפגש בודד ולא לאורך עונה שלמה. אני לא מתייחס יותר מדי ברצינות ליכולת החיזוי של כלי כזה לנבא תוצאות סופיות של עונה שלמה.

      2. השאלה היא אם המודל סטוכסטי.
        כלומא מה היא ההשפעה של ":אעש".
        אם היו לוקחים את זה בחשבון היו רואים שהתחזית לא שווה כלום

          1. כוונתי היא זו: אתה מתחיל עם תנאי התחלה (יום 1 של הליגה) עם "דרוג כוח" (כלומר אחוזי הצלחה מסוימים) שיש לכל קבוצה בהתאם להרכב או להצלחת העבר (נניח). אז במחזור הראשון ישנו סיכוי ידוע מול כל אחת מהמתמודדות, ואחרי סיבוב זה מעדכנים את דרוג הכוח בהתאם.
            בצורה זו אין במערכת רעש והדרוג הראשוני קובע באופן חד ערכי את הכוח בסיום הליגה.
            אבל בכל מחזור משחקים ישנם גורמים בלתי צפויים של פציעות, מנוחה וכ"ו ודבר זה מכניס אי-ודאות בתוצאה של משחק ביםין שתי קבוצות גם אם דרוג העוצמה שלהן ידוע בודאות.
            כשאתה מכפיל את זה בריבית דריבית על פני 82 משחקים מתקבל שהשגיאה יותר גדולה מהתוצאה שאתה מחשב.

          2. ראשית, המודל שלהם לא כולל הכל מן הסתם ואפילו הוא מאד פשטני. אז פציעות באמת לא נכנסות אבל מנוחה כן נכנסת בחישוב סיכויי הניצחון בכל משחק. גם האלמנט הסטוכסטי נכנס מכיוון שתוצאת כל משחק משנה את דירוג העוצמה. עכשיו לגבי השגיאה בהערכה. אני מניח שאם היו עושים מספר רב של חזרות על ה-50000 סימולציות שלהם לא היינו רואים הרבה סטייה ממה שהתקבל (אבל זה בהחלט משהו שהם צריכים לבדוק).

          3. הם לא נתנו את השגיאה של ההערכות שלהם ולכן זה חשוד.
            אם אני מבין נכון אז האלמנט הסטוכסטי לא נכנס בכך שתוצאת המשחק משנה את הדרוג (זה גם אני עשיתי במודל שכתבתי פעם פה בהופס של דרוג הכוח בין מזרח למערב) אלא בכך שהם הריצו 50000 פעם את המשואות עם תנאי התחלה שונים.
            אבל לא קראתי בעיון את מה שהם עשו אז זה סתם ניחוש.

          4. תנאי ההתחלה זהים אבל מה שחשוב הוא שאקראיות נמצאת בתוצאת כל משחק. לכן תוצאת כל סימולציה היא שונה.

  2. בתקופה הזו בשנה שעברה, טבלת הסיכויים שלהם נראתה ככה:

    1. גולדן סטייט 39%
    2. ספרס 22%
    3. קאבס 14%
    4. ת'אנדר 9%

    סטטיסטיקות הן אחלה כלי לתאר, לנמק, ולבאר, את המצב הקיים,
    ולנסות ולזהות מגמות.
    אבל אנחנו עדיין רחוקים מאוד מיכולות החיזוי של הארי סלדון.

  3. אני לא יודע אם לקחת קורס סטטיסטיקה ב'תורת הסיכויים', אבל זה מבוסס על PREDICTIONS שאתה מקבל מ-REGRESSION LINES. כמה שיותר MULTIPLE CORRELATIONS תעשה, הסיכוי לנבואה טוב יותר. אבל כמובן שטיב הנבואה תלוי בעובי ה-BELT. מה שה"חגורה" יותר שמנה, סכוייך לנבא קטנים יותר. רק אם "חגורה" היא צרה עד כדי קו, אז תנבא כל פעם נכון.

    1. אחת הטעויות הגדולות שלי, הייתה לבחור ללמוד כלכלה וסטטיסטיקה באוניברסיטה.
      יש משתנים שפשוט אי אפשר למדוד, ואשר יש להם משקל עצום בקביעת האלופה.
      במודל של 538 ההחלפה של בלאט בטיירון לו, לא הייתה אמורה להשפיע על הקאבס,
      והייתה לה השפעה מכרעת.

      זה לא שהנתונים שלהם חסרי ערך,
      הרבה מאוד פעמים התוצאות שלהם יזהו מגמות עוד לפני שיראו את התוצאות בשטח במאזני הקבוצות.
      בשנה שעברה הם סמנו את הת'אנדר כסוס שחור הרבה לפני כל הפרשנים.

  4. יישומים של חק"ב בספורט יפים לקבלת החלטות במשחק כמו האם עדיף לזרוק שלשה אחרי אנדר או להיכנס לסל וגם זה ברמת המאקרו. לעניין תחזית זכייה באליפות נראה לי שהם פחות יפים.

  5. אני מבין שזה הכל לפי איזה מודל כפי שתואר. אבל לא יאומן לי איך הוא לא מכניס למודל את האיזורים. כל שלול הבנה כאן באתר, יודע להגיש שלקאבס סיכוי של 95% (שלא להגיד 99%) להגיע לגמר, ובגמר, בשביל להיות שמרני אני אגיד 50% סיכוי, למרות שברור שלדעתי הסיכוי יותר קרוב ל60% (נגד הלוחמים. נגד הספרס יותר), אבל נגיד 50% נגד מי שלא תהיה. זאת אומרת שהסיחכוי להם לזכות בגמר הוא 47.5%, בפירוש יותר מכול קבוצה אחרת. כל מודל שלא מתקרב לכיוון הזה, לא באמת שווה משהו.

  6. נייט סילבר מדייק בדיוק כמו שהוא דייק בתחזית לבחירות האחרונות בארה"ב.

    הלוחמים 42% לאליפות והקאבס 10%? גיב מי א ברייק!

  7. הבעיה אם התחזיות האלה והסיכויים הסטטיסטיים היא שהן יעילות בעיקר למפעילי אתרי הימורים. עבורי אין משמעות לזה שליוסטון יש 9% סיכוי לאליפות, כי אין 100 אליפויות השנה ואם היא תזכה או לא הן אפשרויות ברות קיום.
    אם אני רוצה לקבוע מחירי הימורים התחזיות יעזרו לי מאד.
    ואין, חברים, דרך לחזות את העתיד אלא דרך הישגי העבר.

  8. תודה מנחם, מעניין.

    כידוע או שלא, יש לי חיבה גדולה לסטטיסטיקות מכל סוג שהן… עם זאת, כמו שנאמר פה, מודלים שמריצים קדימה עדיין אינם שמישים כמו ניתוח על-פי מה שהיה והווה. ניתן לתלות את זה בשונות המקרית ובגורמים המתערבים, אבל קשה לי להאמין שיש מישהו שחושב שהסיכוי של קליבלנד לזכות באליפות הוא 10%. ברור לכולם שהאחוז גבוה בהרבה. השאלה הטובה יותר על המודלים הללו היא מה הם תורמים? בדרך-כלל הם מאששים את מה שרובינו חושבים (הניקס פייבוריטית לנצח בבית את הפליקנס?? אלוהי הסטטיסטיקה הזה מדהים…) ולא נותנים פרספקטיבה אחרת. זה לא תמיד נכון ויש דוגמאות של זיהוי מגמות מוקדם, אבל זו התחושה שלי פעמים רבות. זאת בניגוד לנתונים סטטיסטיים המתארים את שהתרחש ויוצרים נקודות למחשבה. מצד שני, אולי גם אני חוטא בהטיית האישוש ופשוט לא נותן לנתונים מעניינים שסותרים את מה שאני יודע להיכנס לי למערכת.

    ונקודה חשובה נוספת: כדי לזכות באליפות בליגה צריך לזכות בקונפרנס שלך ואז לנצח בגמר הליגה. זה אומר שהסיכוי לזכות באליפות שווה להסתברות לזכות באזור שלך כפול ההסתברות לנצח בגמר הכללי. בהתחשב בפער של קליבלנד מהיריבות שלה, קשה לי מאוד להאמין שההכפלה של שתי ההסתברויות האלה תהיה שווה ל0.1. זה חלק במחקר הסטטיסטי שמאוד הפתיע אותי ונראה לי משונה.

    1. כשאתה מסתכל על מודל אתה צריך לזכור מה הוא מודד ומה הוא אומר על פי זה.
      בגדול כאן למרות שהמודל יודע שמשחקים בקאבס שחקנים כמו לברון,קיירי,ולאב ביחד הוא מתבסס בעיקר על התוצאות. כאן הקאבס ניצחו עד עכשיו פחות מהווריורס והספרס וגם שיחקו יותר בבית. הם גם עשו זאת בהפרש יותר קטן ומכאן נובעים הסיכויים הנמוכים.
      .
      אם ננסה לתרגם למילים פשוטות את התחזית אז קבוצות כמו הקאבס שמנצחות בשלב זה של העונה כמו שהקאבס ניצחו בהפרשים כמו שהיו להם עד עכשיו זוכות באליפות ב-10% מהמקרים כשיש הליגה קבוצות כמו הווריורס של העונה הספרס שח העונה וכו'. כלומר יש סיבות ללמה הקאבס מנצחים פחות ממה שהיינו מצפים או בהפרשים נמוכים מהצפוי. כלומר המודל לא יודע לדוגמא שברוב ההפסדים האלו הכוכבים שלהם נחו או היו חולים.

    1. באיזה מובן?
      התחזית של המודל היא פר משחק ולכן מתעדכנת בעקבות כל משחק. מהבחינה הזו זה מודל די גס. נניח בהשוואה לליין של וגאס הוא מצליח רק ב-51% מהמקרים לנצח את הספרד.

  9. הסיפור הוא מה מכניסים לסטטיסטיקה
    סטיסטיקה לעיתים מטעה מאד, וצודקת במקרה אוקלו הסוס השחור
    הולך עם מוטי למשל
    שי וניב ראו כמו כולנו הקאבס??? מי בכלל האתר הזה,
    תודה לגילרי.

  10. תחזית סומסום:
    אלופת הקונפרנס / הליגה:

    1. גולדן סטייט 95 / 90
    2. קליבלנד 70 / 7
    3. טורונטו, בוסטון, שיקגו 6 / קטן מ-1
    4. אטלנטה, אינדיאנה 3 / קטן מ-1
    5. שרלוט, מילווקי, ניקס, דטרויט 1.5 / קטן מ-1
    6. ספרז, יוסטון, קליפרס, ג'אז, ממפיס, אוקלהומה קטן מ-1 / קטן מ-1

  11. פרט אחד חסר לי בתחזית שלהם – השגיאה.
    נניח שהם אומרים שהסיכוי של הקאב לזכות הוא 10%. מהו מרווח השגיאה? אני מנחש שזה 10% פלוס מינוס 7%, מה שאומר שהתחזית לא שווה כלום.
    הסיכוי של ג"ס לזכות באליפות: 42% פלוס מינוס 30% – אותו כנ"ל . . .

  12. מנחם תודה רבה אני בשבוע קצת עמוס אז קשה לי להגיב אך אני שמח עם העדכונים שאתה מתכוון להביא בנדון.
    הערה אישית קטנה.
    ככל שאני מצליח להתמקד בכמה שיותר פרטים ולנתח לעומק אני בדרך כלל קולע בינגו.
    אך ההתעמקות הזו היא עניין של שעות ואולי ימים ולכן בלתי אפשרית לאורך זמן.
    בעבר כשמכבי תל אביב הגיעה לפיינל פור היורליג היא שיחקה בשבת ולכן לא יכולתי לראות את המשחקים בשבת והייתי במתח כל השבת …פיתחתי סוג של תוכנה לפחות בהקשר של מכבי קלעתי בינגו.
    קליעה זכורה במיוחד הייתה בפיינל 2007 .
    בשורה התחתונה זו הייתה מסקנתי.
    מכבי תנצח ובתנאי שתלך לקצה הספסל שלה.
    (מכיוון שצביקה השמרן היה המאמן התקשיתי להאמין שמכבי תעשה זאת).
    אך מכבי נקלעה כבר בפתיחה למינוס 17 והלכה לגרסיה ,אליהו ,ושארפ שהיו בקצה הרוטציה והם ניצחו לה את המשחק ההוא.

  13. לא מבין איך הסיכוי של הקאבס לסיים ראשונים גבוהים משל הלוחמים, ובטח שלא מבין את ההפרש בסיכויי האליפות. אם כבר הסיכויים של הלוחמים לסיים ראשונים טובים משל הקאבס, וסיכויי האליפות מאוזנים יותר גם אם לטובת הלוחמים.

להגיב על צביקה לבטל

סגירת תפריט