תיאוריה בגרוש – ביומכניקה למתחילים

פרק נוסף בסדרת תיאוריה בגרוש

=========================

למה אנחנו מרגישים מאמץ כשאנחנו רצים ?

לא כל קוראי הופס הם בטטות, חלקם נוהגים לרוץ. האם אתם משתמשים באפליקציה של הטלפון שאומרת לכם כמה קלוריות הוצאתם ? האם חשבתם איך זה עובד ? אני נוהג לרוץ בגבעות גורל, הנה קטע ממסלול אחד:

running_fig1

האפליקציה שלי (sports-tracker) אומרת שהוצאתי כ- 1300 קילו קלוריות. מאיפה לעזאזל צץ המספר הזה ומה העיקרון שעליו הוא מבוסס ? ניסיתי לחפש מידע אבל לא מצאתי.

אנשים כמו מנחם שעובדים בתחום יודעים כמה אנרגיה ליחידת מסה אדם מוציא בריצה או הליכה, אם במישור או בעליה, איך משפיעות הנעליים, איך משפיע הגיל ומה ההבדל בין גברים לנשים (סליחה, נקבות). נכתבו על זה ספרי לימוד רבים (ראו צילום של עמוד מתוך ספר של McArdle) והוגשו על זה תיזות מחקריות. היום, כל זה קשור ל fitness ול lifestyle ולכן זה נהיה פופולרי. מקור טוב מאוד לחישובי אנרגיה הוא ACSM – American College of Sports Medicine.

טבלה שבה כתוב כמה אנרגיה אנחנו מוציאים כשאנחנו רצים במהירויות שונות (ציר אופקי), כתלות במשקל הגוף (ציר אנכי), מתוך הספר של McArdle. לפי הטבלה אדם במשקל 50 ק"ג הרץ במהירות של 8 קמ"ש מוציא 400 קילו קלוריות לשעה ו-800 קילו קלוריות אם הוא רץ במהירות כפולה של 16 קמ"ש. ברור שצריכת האנרגיה לא יכולה להיות מתכונתית למהירות ולכן הטבלה שגויה.
טבלה שבה כתוב כמה אנרגיה אנחנו מוציאים כשאנחנו רצים במהירויות שונות (ציר אופקי), כתלות במשקל הגוף (ציר אנכי), מתוך הספר של McArdle. לפי הטבלה אדם במשקל 50 ק"ג הרץ במהירות של 8 קמ"ש מוציא 400 קילו קלוריות לשעה ו-800 קילו קלוריות אם הוא רץ במהירות כפולה של 16 קמ"ש. ברור שצריכת האנרגיה לא יכולה להיות מתכונתית למהירות ולכן הטבלה שגויה.

ישנו המון ידע אבל חסרה הבנה.

מה זו הבנה ? ניתן לעשות מודל שיקח בחשבון את האנטומיה המדוייקת של האדם ויסמלץ את התנועה (מלשון סימולציה). זה אכן נעשה, אבל הבעיה עם סימולציות שקשה מאוד לקבל מהן insight. תרשו לי להציג גישת ביניים, דרך הזהב בין טבלאות אמפיריות בלי פרטים לבין סימולציות עם יותר מדי פרטים.

כדאי לשאול קודם כל למה אנחנו מתאמצים כשאנחנו עומדים ללא תנועה ? אם נדמה את הגוף למוט קשיח, הרי מוט כזה ניתן לאזן במצב אנכי על ריצפה ללא השקעת אנרגיה כמעט. אם המוט הוא גליל מושלם אזי הוא יעמוד בשיווי משקל ולא תתבצע כל עבודה. אבל הגוף שלנו שונה ממוט קשיח וכשאנחנו עומדים ללא תזוזה למעשה העצמות שלנו לא מאונכות לריצפה ושרירי רגלינו רועדים כל הזמן כדי לאזן את השלד. ההתכווצויות והשחרורים האלה כרוכים בהשקעת אנרגיה. תשאלו את הקופאיות שחוקקו בשבילן חוק מיוחד המאפשר להן לשבת במקום לעמוד.

running_fig3

בריצה או הליכה המצב שונה. נתאר כאן מודל לרפי הבנה שהם הרוב המוחלט באתר של מנחם. אם אתם שלולי הבנה כדאי לכם לקפוץ מיד למסקנות בסוף.

מה הם הגורמים להשקעת אנרגיה בריצה ? הגורמים הם:

1. כשאנחנו רצים, בכל צעד אנחנו מעלים את מרכז המאסה של הגוף לגובה מסוים ואז מורידים אותו בחזרה. מכיוון שהמגע עם הריצפה הוא פלסטי כל האנרגיה שהשקענו בהרמת הגוף אובדת. למעשה, כל צעד ריצה מאוד דומה לקפיצה במקום, בה אנחנו משקיעים אנרגיה כדי לזרוק את הגוף למעלה, אבל מכיוון שאין לנו קפיצים ברגליים כל האנרגיה הולכת לאיבוד כשאנו נוחתים. למען פשטות אני מניח שמרכז הגוף סטטי ואנחנו מעלים ומורידים רק את הרגלים והידיים. אם מסת האיש היא m אז אנחנו מעלים חלק ממנה בשיעור c3m ,כאשר c3 הוא קבוע שלא ברור מה ערכו בשלב זה שמתאר כמה מסה מתרכזת בידיים וברגליים של איש ממוצע. אנחנו מעלים את המסה בשיעור c2h, כאשר h הוא גובהו של האיש ו c2 הוא קבוע לא ידוע נוסף. כאן אני מחבר בצורה גסה את התרומה של הידיים והרגליים. לצעד אחד, אנרגיה זו יכולה להיכתב כ c2c3mgh.

במהלך הריצה אנחנו מבצעים סדרה של קפיצות
במהלך הריצה אנחנו מבצעים סדרה של קפיצות

2. אנרגיית המנוחה. גם כשאנחנו יושבים במנוחה או אפילו ישנים הגוף שלנו עובד ומחמם את הסביבה. זה משהו שלא צריך להסביר למי שהיה חייל בלבנון ועשה כפיות עם חבריו בעמדת היסתוות בחורף. הגוף שלנו הוא תנור שהספקו הוא בין 100 ל-150 וואט. אם הזמן שלוקח לעשות צעד אחד הוא T אזי האנרגיה הזו לצעד אחד מסתכמת ל PrestT, כאשר Prest=1.8 Watt לכל קילוגרם של הגוף.

 

The girl is on fire
The girl is on fire

3. אנרגיה של תנועה סיבובית של הידיים והרגליים. כשאנחנו מזיזים את הידיים מעלה ומטה בתנועה סיבובית אנחנו מקנים להן תנע זויתי. תנע זה הולך לאיבוד בתנועה של הידיים בכיוון ההפוך ולכן אנרגיה מושקעת על ידינו כל הזמן. דבר דומה קורה עם הרגליים. לגבוהים יש צעד ארוך ולנמוכים צעד קצר, כלומר אורך הצעד הוא מתכונתי לגובה. נסמן את אורך הצעד ב l=c1h, כאשר c1 הוא קבוע נוסף לא ידוע. לתנועה הסיבובית של הידיים, התרומה לאנרגיה צריכה להיות מתכונתית לאורך הצעד מוכפל בתדירות ריבוע. המסה המרוכזת בידיים היא c4m ולכן יש לנו c4m(2pfl)2. f היא תדירות הצעדים, כלמר מספר הצעדים המתבצעת פר שנייה. באותו אופן הרגליים "תורמות c5m(2pflch/cl)2 , כאשר כאן c5 הוא אחוז המסה הכללית המרוכזת בידיים. מכיוון שזו רק הערכה המבוססת על scaling אנחנו צריכים להכפיל את שני איברים אלה בקבוע אחר לא ידוע בשלב זה, c6.

4. חיכוך עם הריצפה. ברור לנו שישנה אנרגיה שהולכת לאיבוד ותלויה בסוג הקרקע. ריצה על כביש שונה מריצה בשטח. תרומה זו מתכונתית למרחק אותו עברנו ולכן ניתן לכתוב אותה על ידי הביטוי

mgμeffl, כאשר μeff הוא מקדם חיכוך אפקטיבי והכפלנו באורך הצעד l כדי לקבל אנרגיה פר צעד אחד.

5. לבסוף, אם המסלול הוא בעלייה בשיפוע בזווית θ אזי בכל צעד אנחנו עולים בשיעור lsinθ ולכן האנרגיה היא mglsinθ. אם מישור הריצה הוא בעלייה (θ>0) האנרגיה חיובית, במישור אופקי האנרגיה הזו מתאפסת, ואם הריצה היא בירידה (θ<0) האנרגיה היא שלילית, כלומר יותר קל לנו לרוץ מאשר במישור או בעלייה.

running_fig6

המודל הזה מניח שתדירות הצעדים היא קבועה ולא תלויה בגובהו של הרץ, במסתו, או במהירותו. עוד נקודה שחשוב להדגיש היא שהסתכלנו על בן אדם כעל רובוט, אוסף של ברזלים שנע ממקום למקום. לא לקחנו בחשבון שלמערכת הביולוגית ישנה חוסר יעילות משלה. לכן האנרגיה האמיתית שהרץ מוציא חיבת להיות גדולה מזו המחושבת.

ההספק של הרץ

האנרגיה שהרץ משקיע ליחידת זמן היא ההספק שלו. סכימה של כל התרומות 1-5 לעיל נותנת את העלות האנרגטית לביצוע צעד אחד. חלוקה בזמן T שלוקח לבצע צעד בודד נותנת לנו את ההספק P :

P=mPrest+c2c3hfmg+(μeff+sinθ)mgv+0.195(2π)2c6mfv2

מה שחשוב לנו לראות הוא שההספק תלוי במהירות כמו (קבוע) + (קבוע כפול מהירות) + (קבוע כפול מהירות בריבוע). הגרף מראה תלות זאת. ככל שנרוץ יותר מהר כך ההספק הנדרש מהגוף גדל, אבל לא בצורה לינארית. ההספק מתכונתי למסה (m במודל שלנו) – הגדלת המאסה פי שניים תגדיל את ההספק הנדרש פי שניים. גם הגדלת שיפוע למגמת עלייה וגם הגדלת החיכוך עם המשטח מגדילים את ההספק בצורה לינארית עם המהירות, כלומר הם "מזיקים" פי שניים אם המהירות היא 8 קמ"ש במקום 4 קמ"ש.

ההספק של הרץ כתלות במהירותו
ההספק של הרץ כתלות במהירותו

מהירות ריצה אופטימלית:

לתנועה מחזורית מתקיים שמהירות התנועה היא v=fl, ואם אורך המסלול הכולל הוא L אנחנו מבצעים L/l צעדים כדי להשלים את המסלול הכולל. לכן סך כל האנרגיה שמושקעת לאורך כל המסלול היא

Utot=(c2c3hfmg+mPrest)L/v+(μeff+sinθ)Lmg+0.195(2π)2c6mLfv

האנרגיה הכללית Utot מתכונתית למהירות ולמרחק הכולל, זה ברור. היא מכילה איבר שמתכונתי למהירות v, איבר שלא תלוי במהירות, ועוד איבר שתלוי ב 1/v. אז באיזו מהירות כדאי לנו לרץ מסלול באורך נתון ? אם המהירות גדולה מאוד אז נשלם על כך הרבה כי ישנו איבר שמתכונתי למהירות, וזה ברור, כי אם נרוץ כמו יוסיין בולט נגמור את הריצה על ארבע. מצד שני, גם אם v קטן מדי האנרגיה הכוללת תהיה גדולה. תחשבו מה יקרה אם תלכו בקצב של ס"מ לשנייה מהבית עד לסופר – תצא לכם הנשמה, אבל גם תוציאו המון אנרגיה, יותר מאשר בהליכה מתונה. ישנה מהירות אופטימלית שמתקבלת כנקודה הכי נמוכה של העקום Utot(v). קומו נחמו נמוכי הקומה – מהאנליזה שלנו עולה שמהירות זו בקושי תלויה בגובהו של הרץ ! עבור איש אופייני המודל שלנו נותן שהמהירות האופטימלית היא בערך 2.7 meter/sec.

האנרגיה הנדרשת לרוץ מסלול באורך נתון כתלות במהירות הריצה.
האנרגיה הנדרשת לרוץ מסלול באורך נתון כתלות במהירות הריצה.

האם המודל מתאים למציאות ?

בגרף למטה הנקודות מתארות את צריכת האנרגיה של נבדקים למול מהירות הריצה שלהם. בניסוי הלבישו לרצים מסיכות חמצן ובדקו את צריכת האנרגיה שלהם במהירויות ריצה שונות. הקו האדום הוא המודל המתואר כאן. במקרה הזה מהירות הריצה האופטימלית מתקבלת בערך ב 3.2 מטר לשניה. גם ההספק (אנרגיה לשניה) של הרץ נמצא בניסוי דומה מאוד לביטוי שמנבא המודל.

האנרגיה הנדרשת לרוץ מסלול באורך נתון. נקודות - ניסוי. קו רציף אדום - מודל. K. L. Steudel-Numbers & C. M. Wall-Scheffler, J. Human Evolution 56, 355-360 (2009)
האנרגיה הנדרשת לרוץ מסלול באורך נתון. נקודות – ניסוי. קו רציף אדום – מודל.
K. L. Steudel-Numbers & C. M. Wall-Scheffler, J. Human Evolution 56, 355-360 (2009)

כדי לנסות להתאים את המודל לניסוי בצורה יותר טובה ניתן להוסיף תיקון שכל מי שרץ מכיר – הצעד מתקצר בעליה. התוצאה של המודל מוצגת בקווים הכחולים בגרף הבא:

האנרגיה לרוץ מסלול נתון בכתלות במהירות הריצה, עבור משטחים עם שיפועים שונים.
האנרגיה לרוץ מסלול נתון בכתלות במהירות הריצה, עבור משטחים עם שיפועים שונים.

ישנן שתי מגמות: שיפוע קטן (θ<0) מוריד את הגרף כלפי מטה וגם גורם לו להיות יותר שטוח, כך שהמינימום יותר רחב, ולהיפך, שיפוע גדול, θ>0, גורם לעקומה להיות חדה יותר.

וכעת רואים את העקומות הניסיוניות. ישנה התאמה איכותית לא רעה בכלל.

running_fig11
האנרגיה לרוץ מסלול נתון בכתלות במהירות הריצה, עבור משטחים עם שיפועים שונים (Margaria 1938)

 

מסקנות:

ניתן להשתמש במודלים גסים המכילים פרמטרים חופשיים הניתנים לכיול על ידי התאמה לניסוי. בפרמטרים אלה ישנה אי ודאות גדולה כי הם מתארים אוכלוסיות מאוד שונות ומגוונות. האנרגיה של המודל היא הסף התחתון לאנרגיה שהרץ באמת הוציא. מהמודל לעיל עולה ש

1. ההספק של הרץ עולה בצורה ריבועית עם מהירות הריצה. ההספק מתכונתי למסתו של הרץ.

2. ישנה מהירות ריצה אופטימלית. מהירות זו כמעט לא תלויה בגובהו של הרץ.

3. ניתן לקחת בחשבון את שיפועו של המישור (עלייה למול ירידה) ואת סוג הקרקע (מקדם החיכוך).

4. על ידי כיול המודל ניתן לקבל ערך מספרי די מדוייק של האנרגיה שהרץ הוציא.

5. נולדנו לרוץ. אבל ריצה זה מעייף.

 

 

מנחם לס

בעל האתר, הבוס הראשי, וכותב יומית - כל זמן שאוכל!

לפוסט הזה יש 26 תגובות

  1. פוסט מצויין
    עולם האפליקציות מטורף , מכשיר שנמצא ברשותי ספר צעדים והציג סטטיסיקה מדימה של כמות קומות שעליתי ( לא עליתי ) מאז שהוא נמצא אצלי
    השימוש בטכנולגיה מכניס מודעות ומאפשר מעקב מסיום על הפעילות הגופנית שלנו

  2. יואב – עגל שלנו – הכל נהדר אבל היית צריך להכות בנו בעוד כמה נוסחאות כי מומי כבר התלונן שכל הנושא קטן מדי עליו…

    אני עיינתי בנוסחאות, והצלחתי לעקוב בגדול עליהן, אבל ברצוני להעיר כמה הערות שהקורא הממוצע יבין.

    1.כשעומדים ללא תנועה, האנרגיה שהעמידה עולה היא לא רק כדי לשמר את חום הגוף, אלא כל שרירי היציבה עובדים בצורה איזומטרית. הרי כשאדם מתעלף הוא נופל. ז"א ששרירים שהם ANTI-GRAVITY עובדים כל הזמן , והדבר דורש אנרגיה.

    2. לא מדוייק לומר שכל האנרגיה שהשקענו בהרמת הגוף אובדת. כשמרכז הכובד עולה בצעד אחד, אז הוא יורד בגלל משיכת האדמה. מה שקורה בירידה הוא שהשרירים לצעד הבא (כיפוף הברף) נימתחים במה שנקרא ECCENTRIC CONTRACTION ((תתארו לכם הורדת משקולת של 75 ק"ג – – השריר שגרם להעלתה, בעיקר הטרייצפס, עתה 'מתכווץ תוך שהוא מתמתח', ז"א שהמשקולת המורדת מביאה עמה אנרגיה מחודשת להרמה הבאה. בריצה, העלייה כתוצאה מדחיפה נגד הקרקע, גורמת בירידה לאנרגיה נשמרת ECCENTRICALLY בשרירי הרגל השנייה. אף פעם לא התעמקתי בנושא, אבל חלק די מכובד מהאנרגיה בעלייה היא עתה אנרגיה פוטנציאלית התורמת לשריר הקוודריצפס והגסטרוקנימיאוס האחראים העיקריים ליצירת הצעד הבא .

    3. זה לא מדוייק לומר שתדירות הצעדים לא תלוייה בגובה הרץ כי הרי w (מהירות זוויתית ברדיאנים) = V/r (כש-r הוא אורך הרגל

    4. הגרף המראה את תלות ההספק במהירות בריבוע (כשלא מתחשבים במסה) הוא נכון בנסיעת מכונית, לכן אם מגדילים מהירות נסיעה מ-40 קמ"ש ל-80 קמ"ש, השקעת הדלק היא יותר מפי שניים. אבל בריצה המהירות V תלוייה במהירות הנעת הרגליים והכוח שהרץ משקיע בכל צעד. ככל שהוא מניע את רגליו מהר יותר, יש לו פחות זמן להשקיע כוח נגד הקרקע, מה שעושה את הגראף הרבה יותר מסובך.

    5. בגראף למציאת "המהירות האופטימלית" החוקר STUDEL החמיץ משתנה חשוב מאד: תרומת המומנטום. בנסיעה במכונית מצאו שהמהירות האופטימלית לחסכון בבנזין היא בערך 55 מייל לשעה. למעשה היא צריכה להיות בסביבות 40 מייל לשעה לפי יצרני המכוניות ויעילות המנועים שהם בונים, אבל במהירות של 55 מייל לשעה, המומנטום של המכונית גורם לעלייה של 15 מייל לשעה וכך חסכון הדלק הגדול ביותר הוא ב-55 ולןא 40 מייל לשעה.

    תודה על הנושא המעניין כל כך!

    1. מנחם
      1. נכון, דיברתי על זה בקצרה.
      2. נכון, חלק מהאנרגיה חוזר אלינו. אבל הכל נלקח בחשבון בתוך הפרמטרים c-ים.
      3. נכון שהתדירות הריצה תלויה במהירות, אבל הניסיון וגם מחקרים שהתלות היא לא חזקה, מי שרץ יכול לשים לב שיש לו תדירות טבעית בסביבות 1 הרץ.
      4. נכון. גם במכוניות כל שהמהירות עולה חיכוך האויר מפסיק להיות מתכונתי למהירות.
      5. הגרף שלהם הוא מדידה נסיונית.

  3. עגל – אבל ספורט הוא לעולם לא ליניארי. לכן אתה לא יכול לכמט אותו לנוסחה.

    אני אתן דוגמא. אני רץ 4 ק"מ המישור על כביש. את הק"מ הראשון אני רץ הכי מהר שאני יכול ומעלה את הדופק שלי ל 140-160. את השאר אני מעיט אך הדופק כבר עובד על מקס.

    או שאני רץ את ה-4 ק"מ המהירות האיטית ביותר שאני יכול והדופק עולה ל 110-120.

    בדוגמא הראשונה אני מזיע הרבה יותר, הגוף הרבה יותר חם, והשרירים עובדים בהספק גבוה יותר. מכאן שגם אני אאבד הרבה יותר קלוריות.

    הנוסחאות מלבד משתנים כמו אורך צעד וכו חיים להכיל FATIGUE, דופק, איהוד זאה ומשתנה שלקוח ממשחקי טלוויזיה והוא ה POWER שנשאר לך.

    אחרי שאמרתי את זה בלי להסתבך בנוסחאות של 2-3 שורות כמוך…
    אלגוריטם של לחץ דם * מספר צעדים * מהירות הגוף שנותן השעון הוא הדבר הכי קרוב למה שבאמת קורה…

    ככלל אצבע אני גם לא מאמין בנוסחאות של מעל 3 משתנים ( E=MC2 / D=S*T

    1. השיקולים הביולוגיים ל נכנסו כאן. תגובת הגוף, מערכת השרירים והלב-ריאות למאמץ הנדרש היא מורכבת ובוודאי שהיא לא לינארית. לכן עומס גדול וקצר יכול "לגמור" אותנו גם אם סך האנרגיה שהוצאנו היא קטנה. אני התייחסתי אל הגוף כאל מכונה.

  4. מרתק. מרתק במיוחד לצד התגובה של מנחם.

    2 הסנט שלי הם שלא ניתן להשתמש בנתון מסת הגוף כמו שהשתמשת –
    בגלל שאלות מבנה הגוף (מתאים לסיבולת או לכוח?) ואחוז השומן בגוף.

  5. מעניין מאוד. תודה עגל וגם מנחם, חשבתי על אפקט המומנטום כשקראתי את הפוסט, מניח שאי אפשר להכניס את כל המשתנים.
    לגבי האפליקציות במיוחד בשעונים ה'חכמים': האלוגריתם לוקח בחשבון את תנועת הידיים על פי הכנסת נתוני גובה ומשקל והמחשב רק לוקח נתוני gps או שבאמת יש שם חיישנים שמזהים את תנועת היד?
    מן הסתם יש שם גם בעייה בזיהוי עליות וירידות כך שכל חישובי הקלוריות למיניהן די רחוקות מהמציאות במקרה של שיפוע, לא?

  6. ואני עד היום הייתי סבור שהאיום האמיתי על המין האנושי יבוא מכיוון שימפנזים, אבל מסתבר שהעגלים עברו מתחת לראדאר 🙂
    תודה עגל על הפוסט המעניין.

כתיבת תגובה

סגירת תפריט