תיאוריה בגרוש 1

מאזן העוצמה בין מזרח ומערב

 

בקהילת הופס נפוץ ויכוח שעולה חדשות לבקרים (מומי, תסביר להם מה זה) שנושאו הוא החוזק של המערב למול חולשתו של המערב. הכוח של המערב נבנה על ידי מספר מועדונים ותיקים ויציבים עם בעלים רציניים. הצלחתן של קבוצות במערב גוררת עוד הצלחה משום ששחקנים טובים מוכנים לעבור מקבוצה כושלת במזרח לקבוצה מצליחה במערב. מצד שני ברור שהחוזק הזה לא ימשך לנצח משום שכשלון קבוצה במזרח מאפשר לה לגייס בדראפט שחקנים מוכשרים ועם הזמן זה אמור להשפיע לטובה. הטור הזה הוא ניסיון נאיבי לתאר את התהליכים האלה בדרך מתימטית.

מה הם הגורמים שמשפיעים על "כוחה" של קבוצה ? ישנו המיקום של המועדון, אם בעיר גדולה או קטנה. חשובים גם הבעלים של המועדון וכמה כסף הוא מוכן להשקיע. כדי להסתכל על השינוי בכוחה של קבוצה אני מתעלם מכל אלה ומסתכל רק על שלושה גורמים: הכשרון שקבוצה מקבלת בדראפט, המעבר של כשרון מקבוצה לקבוצה, ואיבוד השחקנים כתוצאה מפרישה. כל אחד מהגורמים האלה מאופיין על ידי קבוע קצב שונה. ניתן לכתוב מודל פשטני (להחריד) שמתאר בצורה איכותית ופנומנולוגית את ההשתנות בכוחה של קבוצה עם השנים.

לשם פשטות הדיון נגדיר שני משתנים, e ו-w (מזרח ומערב). כל אחד מהם מתאר את ה"כוח" של הקונפרנס המזרחי או המערבי. מה הוא השינוי בכוחו של המזרח ? נניח ש e=0.5 שניתן לחשוב עליו באופן גס כאחוז נצחונות של 50% בעונה נתונה. כעת, אם e>0.5 הקבוצות הן טובות באופן יחסי ולכן בדראפט של סוף העונה הן תקבלנה מעט שחקנים טובים. אם המזרח הוא e<0.5 זאת אומרת שהוא גרוע ולכן יזרום אליו הרבה כשרון בדראפט הבא. במודל הנוכחי קצב השינוי בכוחו של המזרח הוא α(0.5-e)3 כאשר α הוא קבוע הקצב. החזקה השלישית מראה שככל ש e קטן מחצי ומתקרב לאפס כך המזרח מרוויח כשרון בצורה גדלה והולכת, כלומר לא בצורה לינארית עם אחוז ההפסדים, כמו שאכן קורה בדראפט.

הגורם השני הוא מה שאני קורא "אפקט גארנט" שמשמעותו ששחקן מצוין שנמצא בקבוצת פח רוצה לעבור לקבוצה טובה יותר על מנת לממש את עצמו. אולי בקרוב נשנה את השם ל"אפקט ווסטברוק" או "אפקט דוראנט". כאן הכשרון עובר מהמזרח למערב אם המערב טוב מהמזרח ולהיפך אם המערב הוא הנחות. במודל שלנו השינוי ב e הוא לכן .(β(e-w. כאשר  β הוא קבוע שני.

הגורם השלישי הוא עזיבה והתפוגגות של כשרון, כמו הפרישה של נאש או ה"השהייה" של ריי אלן. זה דבר שקורה בכל הקבוצות כל הזמן בלי קשר למידת ההצלחה שלהן. קצב השינוי כאן הוא –γ, כאשר γ הוא קבוע שלישי.

בסיכום שלושת הגורמים לשינוי, אנחנו מקבלים את המשוואה הבאה:

 

de/dt=-α(e-0.5)3+β(e-w)-γ

dw/dt=-α(w-0.5)3+β(w-e)-γ

השורה השנייה היא השינוי של w עם הזמן שמתקבלת באופן סימטרי מהשורה הראשונה על ידי החלפת e ו-w בכל מקום.

מה התוצאה של מודל זה ? ראשית נסתכל על מצב שיווי משקל, כלומר מצב בו אין שינוי עם הזמן. לשם פשטות נניח ראשית ש γ=0. ברור שישנו מצב בו המזרח והמערב שווים בכוחם, e=w=0.5. אבל ישנו עוד מצב הנתון על ידי

    e=½-√(2β/α), w= ½+√(2β/α)

מסתבר שהמצב הראשון, בו המזרח והמערב שווים, הוא לא מצב יציב, כלומר אם התחלנו ממצב זה כל שינוי קטן "זורק" אותנו ממנו. לעומת זאת המצב השני הוא יציב מרגע שהגענו אליו.

מה לגבי השינוי בזמן לפני הגעה למצב שיווי משקל? ובכן, בגרף הראשון רואים את ההתפתחות עם הזמן של ה"כוח" היחסי של המזרח ושל המערב. התחלתי ממצב בו למערב ישנו יתרון קטן על המזרח. רואים שעם הזמן היתרון גדל. בזמן גדול מספיק העקומות כבר לא משתנות והן מקבלות את הערכים שצוינו לעיל.

fig1

הגרף השני הוא זהה רק שכאן לקחתי את המקדם γ להיות גדול מאפס.

fig2

כאן רואים שבזמן קצר גם המזרח וגם המערב יורדים. אחרי זמן מה (=מספר שנים) המזרח ממשיך לרדת בעוד המערב עולה.

מנחם לס

בעל האתר, הבוס הראשי, וכותב יומית - כל זמן שאוכל!

לפוסט הזה יש 27 תגובות

  1. יופי של פוסט!

    יש לי בעיה עם האקסיומה (אפקט גרנט) שכשרון ינוע מקונפרנס חלש לקונפרנס חזק.
    ישנן 2 סיבות למה יקרה תהליך הפוך:
    1. שחקן שמקבל הצעה כספית זהה ב-2 הקונפרנסים מ-2 קבוצות עם מאגר כשרון זהה, אולי יעדיף את הקונפרנס החלש יותר, בו הסיכוי להגיע לפיינלס גבוה יותר.
    2. בטווח הארוך, הקונפרנס עם מאגר הכשרונות הגדול יותר, ולכן החזק יותר, יאלץ "לשחרר" כשרונות לקונפרנס החלש בגלל מגבלות תקרת תקציב.

    למיטב זכרוני לגארנט לא הייתה מילה בכל הנוגע למעברו לסלטיקס – הוא רצה טרייד, והוא נשלח לסלטיקס.
    דווקא השחקנים החפשיים המשמעותיים של העשור האחרון (לברון ודוויין) בחרו להשאר בקונפרנס החלש, החלטה שתגמלה אותם ב-4 פיינלס, ו-2 אליפויות.

  2. את הנוסחאות הפשטניות (עאלק) הבנתי.

    לא הבנתי אם אספת נתונים מהשנים האחרונות והזנת לנוסחאות כדי להשוות מזרח מערב

      1. הייתי שמח לשמוע דעה כמו של מנחם אפילו מחוץ לקהילת הופס, איפשהו בכדור הארץ, שיהיה פרשן אחד, מאמן אחד, אוהד אחד, שיגיד שהמזרח טוב מהמערב בנקודת זמן כלשהי.

        1. תנסה בערוץ הספורט. הם די חסרי מושג שם.

          ניסיתי לתת צ'אנס לאיזה מגזין ספורט שלהם, ואז ה"פרשן" שלהם התעקש לקרוא למייק קונלי קייל לאורי פעם אחר פעם, ולהסביר למה הוא אוברייטד.

          בכלל, בסופ"ש האולסטאר עלתה שם "כתבה" של גיל ברק. חסר המושג הגדול מכולם, שפשוט רצה להשוויץ שעשה "סלפי" עם שחקנים.

  3. לברץ – לא אספתי נתונים בכלל, כל המקדמים נלקחו "מהאויר".
    לגיא – מה שאתה אומר נשמע נכון. אני לקחתי איבר שמתאר נדידה מהחלש לחזק. צריך לשאול את עצמנו למה הכשרון לא מרוכז בצורה שווה בליגה, ומה שלקחתי הוא דרך אחת. בהחלט ניתן להכניס את זה גם כתקרת שכר אבל אז עדיין אין הסבר למה ישנן קבוצות עם יותר כשרון.
    בוא נאמר שהמודל הזה הוא משחק ב"מה יקרה אם" הכוח של הקבוצות נקבע לפי 3 גורמים.

    1. למען הסר ספק,
      אני חושב שהנסיון לבנות מודל החוזה את "כוח" הקונפרנסים הוא נסיון מעורר התפעלות.
      מעניין יהיה לפתח את הנוסחה כך שתתחשב בתקרת שכר (ההנחה הבסיסית שלך לגבי נדידת כשרון נשארת, אבל מוגבלת בטווח הארוך בגלל שתקרת שכר קשיחה יכולה להכיל רק כמות מוגבלת של כשרון), ולבדוק אם יש קורלציה בהשוואה לנתוני עבר.

  4. אני חושב שהמודל מעניין במיוחד אם חושבים עליו לא כ-מזרח נגד מערב, אלא קבוצות חזקות מול קבוצות חלשות – אז מה שהמודל חוזה הוא צמיחה של מספר מצומצם של קבוצות-על.
    המודל מקבל משנה תוקף לנוכח הזינוק הצפוי בתקרת השכר, כאשר אין עדיין שינוי בגובהם של חוזי המקסימום (בגלל שאז אין צורך להוסיף למודל תקרת שכר, ואז ההשערה של נדידת הכשרון נראית דומה להתרחשויות בעבר)

    1. אתה צודק, מזרח-מערב לא קשור לכאן בעצם וההתייחסות הנכונה היא איך החזקים מתחזקים והחלשים נחלשים. אבל אני יכול להכניס בקלות תקרת שכר

  5. עגל, ב-ESPN היו משלמים לך על פוסט כזה, במיוחד אם היית מתרכז בקבוצות חזקות נגד חלשות, והיית מוכן להכניס קצת מספרים מהעבר לראות אם המודל באמת עובד.
    בכל מקרה, אני גאה עם פוסטים כאלה בהופס. אין בכלל שאלה שמבחינת רמה אקדמאית ואינטיליגנציה, הצוות שלנו עולה על כל צוות מדיה אחר בישראל, ואסור לשכוח את מומי שהוא אולי נהג מונית, אבל נסיון החיים שלו שווה דוקטורט בחמישית (מומי, דוקטורט בחמישית זה דוקטור כפול דוקטור כפול דוקטור כפול דוקטור כפול דוקטור)

    1. אני יכול להכניס למודל כמה שינויים כדי להפוך אותו ליותר ריאלי. זה בסה"כ היה משחק בשביל לראות אם מקבלים התנהגות סבירה של המודל. רק מה צריך זמן ובערב העיניים נעצמות . . .

  6. עגל, היכן בוורד אתה מוצא קרקטרס למשוואות כגון שורש מרובע, או סימן 2 למעלה לציין בריבוע? יש לי בעייה גדולה עם זה באוניברסיטה. מצאתי איך לעשות משוואות רק בפאור פוינט ובאקסל, אבל לא בוורד.
    (אשמח לשמוע מכל אחד אחר)

    1. מנחם בוורד אתה הולך ל-insert. יש בצד ימין למעלה ב-tool bar, לחצן של symbol מתחת ל-equation.
      תוכל לבחור באיזה סימן שתרצה וגם לעשות לו קיצור כדי שתוכל להשתמש בו להבא מבלי לחפש אותו

    2. You click on the "Insert" tab and on the left side of that ribbon you have "equation" and "Symbol"… there you can find all the
      math parameters and symbols (and a bunch of other useful stuff)

  7. הפןסט נהדר ובהחלט שווה שכלול. כי הניבוי שלו כרגע הוא התחזקות החזקים, אני חושב שזאת המציאות, בגלל עולם הפריאייגנסי, שבעצם מכריע לכיוון הזה, אבל שווה לפתח את זה עוד ואולי למצא את האילוצים שיגרמו למערכת דווקא להיות מאוזנת יותר – את זה אפשר להציע לליגה..

  8. אני פתוח לשמוע הצעות מכולם איך ניתן להגביר את האיזון בליגה. את התיאור המילולי אני אשתדל להמיר לשפה מתימטית ואז נוכל לראות מה האימפקט שלו.

  9. זה נורא מצחיק שאנשים רואים משוואות וישר בטוחים שמתת אל לפניהם כי הם פשוט לא מבינים שום דבר… וזה כולל גם אותך דוקטור? לס.
    ולגבי הפוסט עצמו, מכיוון שלא נעים לי להרוס לכולם אני רק אגיד שהמשוואות האלו זה חתיכת אחיזת עיניים . למה בשלישית ולא בחמישית??
    מה קשור מעבר של שחקן אחד לנוסחא כוללת של מזרח פחות מערב…
    מה קשר בירה לנשר.
    אבל שיהיה, ממילא אף אחד לא באמת מנסה להבין

    1. חיכיתי בסבלנות שמישהו ישאל למה חזקת 3 ולא 5 (הבנת שהחזקה חייבת להיות אי-זוגית . . . ). באותו אופן אפשר לשאול על האיבר השני למה הוא מתכונתי להפרש בין e ל w ולא חזקה אחרת או תלות פונקציונלית אחרת 🙁
      במקרה שבחרתי בו ישנו פתרון בו e=w=1/2 טריוויאלי ועוד פתרון לא טריוויאלי שהוא עדיין קל להבעה אנליטית.
      הנקודה היא לא זו, הנקודה היא שלמרות שהמודל מניח צורה שרירותית של האיברים השונים הוא עדין מתנהג בצורה איכותית נכונה.
      ("איכותית נכונה" משמעותה לא שהתיאור של מה שנכנס בדראפט הוא מדוייק אלא שהוא מתאר מגמה כללית נכונה). כל הרעיון הוא ?*לא* להוסיף אינסוף פרטים שיקרבו את המציאות בצורה מדוייקת כמו שהרבה אנשים עושים ואז הם מאבדים את הידיים והרגליים אלא לקחת את המינימום הנדרש על מנת לקבל משהו שלא ברור מאליו ושעדיין ניתן להבין.

      1. איכותית נכונה ? כלומר אתה קודם קובע את תוצאת הניסוי, ואז מחפש משוואה שתתאים לה…
        איפה הכנסת את זה שהמזרח לוקח יותר אליפויות? ואת זה שלס גר שם?

  10. נסיון יפה, אם כי חסרות ההצדקות לבחירות בפונקציות הספציפיות. ניתן להניח שזו התחלה טובה למשהו יותר מדויק, ויפה שזה מנבא מגמות הגיוניות. מעניין לדעת האם אלו מגמות שנתמכות גם בנתוני עבר, כפי שמנחם שאל כבר.

  11. הפוסט מצוין. גם אם לא מדוייק כי מאוד קשה להוכיח דברים מורכבים כמו ספורט קבוצתי עם הרבה משתנים הרעיון בהחלט מצויין והכתיבה מעניינת!

כתיבת תגובה

סגירת תפריט